I. IntroductionDans un précédent billet, on a pu s'initier au calcul formel avec Python en comparant deux expressions mathématiques. On souhaite maintenant aller plus loin en déterminant les relations qui relient les coefficients et les racines d'un polynôme.
Note : les définitions données par la suite sont toutes issues de la page Wikipedia Relations entre coefficients et racines.
II. Définitions mathématiques
II-A. Rappel sur les polynômes
Un polynôme 𝑃 de degré 𝑛 s'écrit sous sa forme la plus générale :
où 𝑎i est appelé coefficient de Xi.
On peut aussi le définir grâce à ses racines, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de X qui annulent 𝑃. Ainsi, le théorème de d'Alembert-Gauss garantit que tout polynôme de degré 𝑛 à coefficients complexes admet exactement 𝑛 racines sur ℂ, éventuellement multiples. Il en résulte qu'un polynôme 𝑃 à coefficients complexes peut se réécrire :
avec 𝑥i les racines de 𝑃, éventuellement multiples.
II-B. Polynômes symétriques
On définit le k-ième polynôme symétrique à 𝑛 indéterminées, noté σk, comme la somme de tous les produits à k facteurs de ses indéterminées (il y a autant de produits possibles à k facteurs que de combinaisons de k éléments parmi 𝑛).
Par exemple, les polynômes symétriques associés aux indéterminées 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 et 𝑥4 sont :
Plus généralement, en considérant les polynômes symétriques σ0, σ1, ..., σn à 𝑛 indéterminées :
II-C. Relations entre coefficients et racines
On donne maintenant les formules qui relient les coefficients et les racines d'un polynôme 𝑃 :
Ces relations s'obtiennent en développant le produit 𝑃 = 𝑎n(X − x1) (X − x2)⋯(X − xn), et en identifiant les coefficients du développement (qui s'expriment à partir des polynômes symétriques des racines) avec les coefficients de 𝑃 = 𝑎nXn + 𝑎n−1Xn−1 + ⋯ + a0.
Note : Les relations entre les coefficients et les racines portent le nom de François Viète, le premier à les avoir énoncées dans le cas de racines positives.
III. Implémentation en Python
Pour représenter en Python ces polynômes et pouvoir réaliser des opérations entre eux, on utilise à nouveau notre classe Polynome :
On peut ainsi écrire une fonction qui va nous permettre de développer le produit 𝑃 = an(X − x1) (X − x2)⋯(X − xn), puis d'identifier les coefficients du polynôme obtenu avec ceux de 𝑃 = 𝑎nXn + 𝑎n−1Xn−1 + ⋯ + a0 :
| Code Python : | Sélectionner tout |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 | def coefficients_polynome(poly): # initialisation de la liste des coefficients liste_coefficients = [] liste_termes=[] # parcours des termes du polynôme passé en argument for terme in poly.liste_termes: # création de la liste de variable sans le 'X' : ('xi','x2') liste_vars = tuple([t for t in terme[1] if t!='X']) # ajout du tuple (coef,vars) à la liste liste_termes.append((terme[0],liste_vars)) # détermination du nombre de coefficients du polynôme : ('a3','x1','x2','x3') -> 4 nombre_coefficients = max([len(t[1]) for t in liste_termes]) # parcours des indices des coefficients : 0 -> nombre_coefficients-1 for indice_coefficient in range(nombre_coefficients): # création de la liste des termes du polynôme associés aux coefficients, avec comme formule des coefs : a(n-k) = (-1)^k*an*σk(x1,...,xn) termes_polynome =[terme for terme in liste_termes if len(terme[1])==(nombre_coefficients-indice_coefficient)] # ajout du polynôme à la liste liste_coefficients.append(Polynome(termes_polynome)) # renvoie la liste des polynômes associés aux coefficients return liste_coefficients |
On teste maintenant notre fonction pour un polynôme de degré 3 possédant 3 racines 𝑥1, x2 et x3 :
| Code Python : | Sélectionner tout |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 | # recherche des coefficients du polynôme : # P = a3X^3 + a2x^2 + a1X + a0 # Il possède 3 racines x1, x2, x3, on peut donc l'écrire sous sa forme factorisée : # P = a3*(X-x1)*(X-x2)*(X-x3) # création des objets représentant le coefficient a3, l'indéterminé X et les racines du polynôme 𝑎3 = Polynome('a3') # création d'un 1er objet Polynome représentant le coefficient a3 X = Polynome('X') # création d'un 2e objet représentant la variable X x1 = Polynome('x1') # création d'un 3e objet représentant la racine x1 x2 = Polynome('x2') # création d'un 4e objet représentant la racine x2 x3 = Polynome('x3') # création d'un 5e objet représentant la racine x3 # création d'un objet Polynome à partir de l'expression a3*(X-x1)*(X-x2)*(X-x3) P = a3*(X-x1)*(X-x2)*(X-x3) # détermination des coefficients du polynôme en fonction de ses racines coefs_polynome = coefficients_polynome(P) # nombre de racines n=3 print("Coefficients du polynôme exprimés en fonction de ses racines :") # parcours des coefficients du polynôme de an à a0, avec comme formule des coef. : a(n-k) = (-1)^k*an*σk(x1,...,xn) for k,p in enumerate(reversed(coefs_polynome)): if k>0: # on choisit de ne pas afficher an = an # affiche a(n-k) = ... print('a{0} = '.format(n-k) + p.__str__()) |
Le code affiche :
Qui peut également s'écrire :
En posant a3=1, et connaissant les racines du polynôme, on peut ainsi évaluer ses autres coefficients et donc identifier l'équation correspondante.
Vous pouvez également vérifier ce résultat par exemple avec l'outil de calcul bien connu Wolfram|Alpha.
.
IV. Module complet
On donne pour finir le code complet du module pour effectuer les tests :
| Code Python : | Sélectionner tout |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 | def regrouper_termes(liste_termes): # permet de regrouper les termes identiques dans une liste triée en utilisant les règles R4 et R5 : # R5 : a*a + b + a*a + b + c = a*a + a*a + b + b + c (tri) # R4 : a*a + a*a + b + b + c = 2*a*a + 2*b + c (regroupement) # [(1,('a', 'a')), (1,('b',)), (1,('a', 'a')), (1,('b',)), (1,('c',))] -> [(2,('a','a')), (2,('b',)), (1,('c',))] # créer une liste triée de variables ou de tuples uniques : [(1,('a', 'a')), (1,('b',)), (1,('a', 'a')), (1,('b',)), (1,('c',)] -> [('a','a'), ('b',), ('c',)] liste_vars = [t[1] for t in liste_termes] liste_vars_uniques = sorted(set(liste_vars)) # règle R5 # initialisation de la liste de termes à renvoyer liste_termes_groupes = [] # parcours les variables uniques de la liste for var in liste_vars_uniques: # compte le nombre de fois que la variable est présente dans la liste coef = sum([t[0] for t in liste_termes if t[1]==var]) # Règle R4 if coef!=0: # si le coef. n'est pas égal à 0 # ajout du tuple (coef,var) à la liste : liste_termes_groupes.append((2,('a',))) liste_termes_groupes.append((coef,var)) # renvoie de la liste des termes groupés return liste_termes_groupes class Polynome: def __init__(self, termes): # méthode constructeur de la classe # on s'assure que l'argument termes est une liste if not isinstance(termes, list): termes = [termes] # parcours des indices et des termes de la liste for indice, terme in enumerate(termes): # si le terme est de type string : 'a' if isinstance(terme, str): # on met à jout l'élément de la liste avec un tuple de la forme (1,('a',)) : (coef, var) termes[indice] = (1,(terme,)) elif len(terme)<=1 or not isinstance(terme[0], (int, float)): # ou si le terme est un tuple à un seul élément : ('a',) termes[indice] = (1,terme) # regroupement des termes identiques en utilisant les règles R4 et R5 termes = regrouper_termes(termes) # on définit la liste de termes correspondant au polynôme. Ex. : [(1,('a','a')), (2,('a','b')), (1,('b','b'))] -> a^2 + 2ab + b^2 self.liste_termes = termes def __str__(self): # permet d'afficher l'expression sous sa forme développée et réduite # initialise la chaîne à renvoyer chaine_expression = '' # si le polynôme est égal à un nombre : p=1 if (len(self.liste_termes)==1) and self.liste_termes[0][1]==(): return str(self.liste_termes[0][0]) # renvoie le nombre # parcours de la liste de termes du polynôme for terme in self.liste_termes: # création de la liste de variables uniques : ['a', 'b', 'c'] liste_vars = sorted(set(terme[1])) if liste_vars==[]: # si c'est un nombre chaine_terme=str(terme[0]) else: # sinon # si le coefficient du terme vaut 1 : (1,'a') if terme[0]==1: chaine_terme='' # on part d'une chaîne vide else: # sinon chaine_terme=str(terme[0]) + '*' # on part d'une chaîne contenant le coef. : '2*' # parcours des variables du terme : ('a','a','b') -> a*a*b = (a^2)*b for var in liste_vars: # évalue l'exposant de la variable : ('a','a','a') -> a^3 (R1) exp = len([v for v in terme[1] if v==var]) # si l'exposant vaut 1 if exp==1: chaine_terme += var + '*' else: # sinon chaine_terme += var + '^' + str(exp) + '*' chaine_terme = chaine_terme[:-1] chaine_expression += chaine_terme + " + " # renvoie la chaîne représentant l'expression du polynôme return chaine_expression[:-3].replace(" + -1*"," - ").replace("-1*","-") def __add__(self, other): # méthode permettant de redéfinir l'opérateur « + » pour 2 objets Polynome : self + other # concaténation des 2 listes de termes # [(1,('a', 'a')), (1,('b',))] + [(1,('a', 'a')), (1,('b',))] = [(1,('a', 'a')), (1,('b',)), (1,('a', 'a')), (1,('b',))] # tri et regroupement des termes identiques en utilisant les règles R4 et R5 : # R5 : a*a + b + a*a + b -> a*a + a*a + b + b (tri) # R4 : a*a + a*a + b + b -> 2*a*a + 2*b (regroupement) # [(1,('a', 'a')), (1,('b',)), (1,('a', 'a')), (1,('b',))] -> [(2,('a','a')), (2,('b',))] # concaténation des 2 listes de termes de self et other liste_termes = self.liste_termes + other.liste_termes # renvoie l'objet Polynome résultat de l'addition de self et other avec regroupement des termes identiques return Polynome(liste_termes) def __sub__(self, other): # méthode permettant de redéfinir l'opérateur « - » pour 2 objets Polynome : self - other # concaténation des 2 listes de termes # [(1,('a',)), (1,('b',))] + [(1,('a','a')), (1,('b',))] = [(1,('a',)), (1,('b',)), (1,('a','a')), (1,('b',))] # tri et regroupement des termes identiques en utilisant les règles R4 et R5 : # R5 : a + b - a*a - b -> a - a*a + b - b (tri) # R4 : a - a*a + b - b -> a - a*a (regroupement) # [(1,('a',)), (1,('b',)), (-1,('a','a')), (-1,('b',))] -> [(1,('a',)), (-1,('a','a'))] # met un signe - devant les coefficients de la liste des termes de other other_liste_termes=[(-terme[0],terme[1]) for terme in other.liste_termes] # concaténation des 2 listes de termes de self et other liste_termes = self.liste_termes + other_liste_termes # renvoie l'objet Polynome résultat de la soustraction de self et other avec regroupement des termes identiques return Polynome(liste_termes) def __mul__(self, other): # méthode permettant de redéfinir l'opérateur « * » pour 2 objets Polynome : self * other # règles R2, R3, R4 et R5 # R2 : (a+b)*(a+b) = (a+b)*a + (a+b)*b # R3 : = a*(a+b) + b*(a+b) # R2 : = a*a + a*b + b*a + b*b # R3 = a*a + a*b + a*b + b*b # R4 : = a*a + 2*a*b + b*b # initialisation de la liste de termes liste_termes = [] # si le 2e membre est un numérique if isinstance(other, (int,float)): # on multiplie les coefficients des termes de self.liste_termes par other liste_termes = [(other*terme[0],terme[1]) for terme in self.liste_termes] return Polynome(liste_termes) # parcours des termes de la liste de other for terme_droite in other.liste_termes: # parcours des termes de la liste de self for terme_gauche in self.liste_termes: coef = terme_droite[0]*terme_gauche[0] var = terme_droite[1] + terme_gauche[1] # tri des variables var = tuple(sorted(var)) # ajout du tuple (coef,var) à la liste liste_termes.append((coef,var)) # renvoie l'objet Polynome résultat de la multiplication de self et other avec regroupement des termes identiques return Polynome(liste_termes) def __pow__(self, n): # méthode permettant de redéfinir l'opérateur de puissance : self ** n # on utilise pour cela la règles R1 : # R1 : ∀x, x^2 = x∗x # a^2 = a*a # a^3 = a*a*a #... # on initialise la variable objet p avec un polynôme égal à 1 p = Polynome((1,())) # on multiplie n fois p par self à l'aide de l'opérateur * for i in range(n): p = p*self # équivalent à : p = p.__mul__(self) # renvoie l'objet Polynome résultat de l'opération (self ** n) return p def __eq__(self, other): # méthode permettant de redéfinir l'opérateur « == » pour 2 polynômes # renvoie True si les listes de termes des 2 polynômes sont égales return (self.liste_termes==other.liste_termes) def coefficients_polynome(poly): # initialisation de la liste des coefficients liste_coefficients = [] liste_termes=[] # parcours des termes du polynôme passé en argument for terme in poly.liste_termes: # création de la liste de variables sans le 'X' : ('x1','x2') liste_vars = tuple([t for t in terme[1] if t!='X']) # ajout du tuple (coef,vars) à la liste liste_termes.append((terme[0],liste_vars)) # détermination du nombre de coefficients du polynôme : ('a3','x1','x2','x3') -> 4 nombre_coefficients = max([len(t[1]) for t in liste_termes]) # parcours des indices des coefficients : 0 -> nombre_coefficients-1 for indice_coefficient in range(nombre_coefficients): # création de la liste des termes du polynôme associés aux coefficients, avec comme formule des coefs : a(n-k) = (-1)^k*an*σk(x1,...,xn) termes_polynome =[terme for terme in liste_termes if len(terme[1])==(nombre_coefficients-indice_coefficient)] # ajout du polynôme à la liste liste_coefficients.append(Polynome(termes_polynome)) # renvoie la liste des polynômes associés aux coefficients return liste_coefficients # recherche des coefficients du polynôme : # P = a3X^3 + a2x^2 + a1X + a0 # Il possède 3 racines x1, x2, x3, on peut donc l'écrire sous sa forme factorisée : # P = a3*(X-x1)*(X-x2)*(X-x3) # création des objets représentant le coefficient a3, l'indéterminé X et les racines du polynôme 𝑎3 = Polynome('a3') # création d'un 1er objet Polynome représentant le coefficient a3 X = Polynome('X') # création d'un 2e objet représentant la variable X x1 = Polynome('x1') # création d'un 3e objet représentant la racine x1 x2 = Polynome('x2') # création d'un 4e objet représentant la racine x2 x3 = Polynome('x3') # création d'un 5e objet représentant la racine x3 # création d'un objet Polynome à partir de l'expression a3*(X-x1)*(X-x2)*(X-x3) P = a3*(X-x1)*(X-x2)*(X-x3) # détermination des coefficients du polynôme en fonction de ses racines coefs_polynome = coefficients_polynome(P) # nombre de racines n=3 print("Coefficients du polynôme exprimés en fonction de ses racines :") # parcours des coefficients du polynôme de an à a0, avec comme formule des coef. : a(n-k) = (-1)^k*an*σk(x1,...,xn) for k,p in enumerate(reversed(coefs_polynome)): if k>0: # on choisit de ne pas afficher an = an # affiche a(n-k) = ... print('a{0} = '.format(n-k) + p.__str__()) |
V. Conclusion
Le calcul symbolique nous a donc permis cette fois d'obtenir les relations qui relient les coefficients et les racines d'un polynôme. Pour cela, on a simplement développé sa forme factorisée en utilisant les règles qui régissent les opérations arithmétiques, puis on a identifié les coefficients de ce développement avec ceux du polynôme exprimé sous sa forme générale.
Comme le calcul numérique sur ordinateur permet d'évaluer rapidement une expression numérique, le calcul formel peut donc être très utile pour vérifier facilement certaines identités ou relations mathématiques.
Sources :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_formel
https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me
https://fr.wikipedia.org/wiki/Relati...nts_et_racines
https://fr.wikipedia.org/wiki/Combin...9p%C3%A9tition
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemb...%27un_ensemble