I. IntroductionÉtant donné un ensemble de n points représentant des données périodiques de période T, on recherche une fonction d'interpolation qui passe par tous ces points.
On souhaite en fait implémenter une fonction Python qui réalise une interpolation trigonométrique d'une série de points supposés uniformément répartis dans un intervalle de longueur T.
Note : l'objectif n'est pas de donner des démonstrations rigoureuses des différentes formules employées, mais surtout de montrer comment les implémenter en Python.
II. Interpolation trigonométrique
On va tout d'abord montrer comment obtenir un polynôme trigonométrique permettant d'approcher une fonction de période 2𝜋. Puis, on va généraliser ce résultat pour n'importe quelle période.
II-A. Polynôme trigonométrique
On peut exprimer tout polynôme trigonométrique comme une somme de sinus et de cosinus :
Avec une série de n points, on s'attend à avoir une fonction polynomiale avec n paramètres ou coefficients à identifier.
C'est à dire comportant 1 paramètre initial a0, ensuite, le nombre de coefficients supplémentaires dépend de la parité de n :
- Si n est pair, on aura m coefficients ak et m-1 coefficients bk, avec m = n/2.
- Si n est impair, on aura m coefficients ak et bk, avec m = (n-1)/2.
II-A-1. Analogie entre polynôme et série trigonométrique
Soit f une fonction périodique, de période T=2𝜋, et intégrable sur ℝ, on appelle série de Fourier de f la série trigonométrique telle que :
On voit tout de suite l'analogie avec un polynôme trigonométrique :
On note cependant que ce type de polynôme possède un nombre fini de termes alors qu'une série de Fourier en possède un nombre infini.
II-A-2. Formules des coefficients du polynôme trigonométrique
Les coefficients d'une série de Fourier pour une fonction de période T=2𝜋 sont donnés par :
Si maintenant on se place sur l'intervalle [0, 2𝜋] (avec 𝛼=0), et si on effectue le changement de variable x = i.2𝜋/n dans les formules précédentes, on peut alors passer d'une variable continue x à une variable discrète i.
Les intégrales définies sur [0, 2𝜋] se transforment en sommes de n termes multipliées par un facteur 2𝜋/n.
La fonction continue f peut alors être approchée par une fonction polynomiale trigonométrique à n paramètres.
Pour k=0, on obtient ainsi :
Et pour 0 < k ≤ (n-1)/2 :
Pour 0 ≤ k ≤ m :
Pour k = n/2, et n donc pair, on peut remarquer que :
Comme les termes en sinus de la fonction polynomiale s'annulent tous, on obtient également :
On en déduit enfin que pour k = n/2 :
Cette formule est également valable pour k=0.
II-B. Interpolation sur une période quelconque
Si f(x) est périodique de période 2𝜋, alors f(ωx) est périodique de période 2𝜋/ω.
Par conséquent, si la fonction polynomiale f(x)=P(x) permet d'approcher une fonction continue de période 2𝜋, alors f(ωx) permet d'approcher une fonction continue de période 2𝜋/ω.
La fonction d'interpolation recherchée f(ωx) de période T=2𝜋/ω que l'on note g(x) est donc définie par :
III. Implémentation en Python
Nous souhaitons maintenant traduire en Python les formules précédentes pour nous permettre de déterminer la fonction d'interpolation passant par une série de points régulièrement répartis.
III-A. Évaluation des coefficients ak
On se base sur les formules des coefficients ak vues précédemment.
Pour 0 < k ≤ (n-1)/2 :
Pour k=0 ou k=n/2 :
On obtient facilement la fonction Python :
| Code Python : | Sélectionner tout |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 | def coefficient_cosinus(y, k): # calcul du coefficient ak # y : liste des valeurs de y # k : indice du coefficient ak # nombre de termes du polynôme trigonométrique ou nombre de valeurs de y n = len(y) # initialisation de la variable ak ak =0 # parcours des indices i : 0 -> n-1 for i in range(len(y)): xi=i*2*math.pi/n # xi = i2π/n ak += y[i]*math.cos(k*xi) # ak = ak + yi*cos(k*xi) if k>0 and k<=(n-1)/2: ak=ak*2/n else: ak=ak/n # retourne la valeur du coefficient ak return round(ak,12) |
III-B. Évaluation des Coefficients bk
De la même façon, en se basant sur la formule des coefficients bk :
On obtient le code Python :
| Code Python : | Sélectionner tout |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 | def coefficient_sinus(y, k): # calcul du coefficient bk # y : liste des valeurs de y # k : indice du coefficient bk # nombre de termes du polynôme trigonométrique ou nombre de valeurs de y n = len(y) # initialisation de la variable bk bk =0 # parcours des indices i : 0 -> n-1 for i in range(n): xi = i*2*math.pi/n # xi = i2π/n bk += y[i]*math.sin(k*xi) # bk = bk + yi*sin(k*xi) bk=bk*2/n # retourne la valeur du coefficient bk return round(bk,12) |
III-C. Évaluation des coefficients du polynôme
En utilisant les fonctions précédentes, on peut alors écrire le code Python permettant d'obtenir la liste des coefficients de la fonction polynomiale à partir des valeurs de y :
| Code Python : | Sélectionner tout |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 | def coefs_polynome_trigo(y): # évalue les coefficients du polynôme trigo. n=len(y) # nombre de valeurs de y : nombre de paramètres du polynôme m = n//2 # intialisation de la liste des paires de coefficients (ak, bk) coefs=[] # parcours des indices k : 0 -> m for k in range(m+1): # évaluation des coefficients ak et bk ak = coefficient_cosinus(y,k) bk = coefficient_sinus(y,k) # ajout de la paire à la liste coefs.append((ak,bk)) # retourne la liste des couples de coefficients return coefs |
III-D. Evaluation de la fonction d'interpolation
En se basant finalement sur l'expression générale de la fonction d'interpolation :
On aboutit au code Python :
| Code Python : | Sélectionner tout |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | def eval_fonction_interpolation(coefs,T,x): ω = 2*math.pi/T # w = 2π/T valeur_polynome = 0 # initialisation de la variable à retourner # parcours des indices k : 0 -> m for k in range(len(coefs)): # valeur_polynome = valeur_polynome + ak.cos(kωx) + bk.sin(kωx) valeur_polynome += coefs[k][0]*math.cos(k*ω*x) + coefs[k][1]*math.sin(k*ω*x) # retourne la valeur de la fonction d'interpolation pour x return valeur_polynome |
III-E Module de test
Nous donnons pour finir le module de test complet permettant d'obtenir à partir d'une série de points la fonction d'interpolation :
| Code Python : | Sélectionner tout |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 | import math # module pour disposer des fonctions mathématiques import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # librairie pour générer le graphique def f(x): # fonction supposée inconnue que l'on souhaite approcher en réalisant une interpolation trigonométrique de quelques points return 5 + 7*math.cos(2*x) + 2*math.sin(2*x) + 3*math.cos(4*x) + 4*math.sin(4*x) + 5*math.cos(6*x) + 12*math.sin(6*x) + 27*math.cos(8*x) + 35*math.sin(8*x) def coefficient_cosinus(y, k): # calcul du coefficient ak # y : liste des valeurs de y # k : indice du coefficient ak # nombre de termes du polynôme trigonométrique ou nombre de valeurs de y n = len(y) # initialisation de la variable ak ak =0 # parcours des indices i : 0 -> n-1 for i in range(len(y)): xi=i*2*math.pi/n # xi = i2π/n ak += y[i]*math.cos(k*xi) # ak = ak + yi*cos(k*xi) if k>0 and k<=(n-1)/2: ak=ak*2/n else: ak=ak/n # retourne la valeur du coefficient ak return round(ak,12) def coefficient_sinus(y, k): # calcul du coefficient bk # y : liste des valeurs de y # k : indice du coefficient bk # nombre de termes du polynôme trigonométrique ou nombre de valeurs de y n = len(y) # initialisation de la variable bk bk =0 # parcours des indices i : 0 -> n-1 for i in range(n): xi = i*2*math.pi/n # xi = i2π/n bk += y[i]*math.sin(k*xi) # bk = bk + yi*sin(k*xi) bk=bk*2/n # retourne la valeur du coefficient bk return round(bk,12) def coefs_polynome_trigo(y): # évalue les coefficients du polynôme trigo. n=len(y) # nombre de valeurs de y : nombre de paramètres du polynôme m = n//2 # intialisation de la liste des paires de coefficients (ak, bk) coefs=[] # parcours des indices k : 0 -> m for k in range(m+1): # évaluation des coefficients ak et bk ak = coefficient_cosinus(y,k) bk = coefficient_sinus(y,k) # ajout de la paire à la liste coefs.append((ak,bk)) # retourne la liste des couples de coefficients return coefs def eval_fonction_interpolation(coefs,T,x): ω = 2*math.pi/T # w = 2π/T valeur_polynome = 0 # initialisation de la variable à retourner # parcours des indices k : 0 -> m for k in range(len(coefs)): # valeur_polynome = valeur_polynome + ak.cos(kωx) + bk.sin(kωx) valeur_polynome += coefs[k][0]*math.cos(k*ω*x) + coefs[k][1]*math.sin(k*ω*x) # retourne la valeur de la fonction d'interpolation pour x return valeur_polynome def expr_fonction_interpolation(coefs,T): ω = 2*math.pi/T # w = 2π/T expr_polynome = "f(x) = " + str(coefs[0][0]) + " + " # initialise de la variable expression avec a0 # parcours des indices k : 0 -> len(coefs)-1 for k in range(1, len(coefs)): expr_polynome += "{0}.cos({1}x) + {2}.sin({1}x) + ".format(coefs[k][0],k*ω,coefs[k][1]) # retourne l'expression de la fonction d'interpolation return expr_polynome[:-3] # initialisation de la liste y y=[] # nombre de termes du polynôme trigonométrique recherché (nombre de points de la série) n = 9 # période de la fonction d'interpolation recherchée. Par exemple, la fonction f(x) = a0 + a1.cos(2x) + b1.sin(2x) + a2.cos(4x) + b2.sin(4x) + ... a une période de T=π T = math.pi # T=π # parcours des indices des valeurs de x et de y for i in range(n): xi = (i*T/n) # valeur de xi yi = f(xi) # valeur de yi = f(xi), f est supposée inconnue # ajout de la valeur yi à la liste y y.append(yi) # évaluation des coefficients du polynôme trigonométrique coefs_polynome=coefs_polynome_trigo(y) print("I. Expression de la fonction d'interpolation passant par les différents points :") print() # affiche l'exrpession de la fonction d'interpolation passant par les différents points print(expr_fonction_interpolation(coefs_polynome,T)) print();print() print("II. Courbe représentative de la fonction d'interpolation passant par les différents points..") # précision de la trace de la fonction d'interpolation precision_trace = 10 # 10*n : ici on multiplie le nombre de points initial n par 10 # génère 10*n valeurs de x entre 0 et T x = list(np.linspace(0.0, T, precision_trace*n)) # initialise la liste y1 avec 10*n cases à None : [None, None, None, ..., None] y1=[None]*(precision_trace*n) y2=[] # parcours des indices de x for i in range(len(x)): if i % precision_trace==0: # si i modulo 10 = 0 : 0, 10, 20, ... y1[i]=y[i//precision_trace] # copie de la valeur mesurée yi #y1[i]= f(x[i]) # copie de la valeur réelle de la fonction # valeur donnée par la fonction d'interpo. yi=eval_fonction_interpolation(coefs_polynome,T,x[i]) # ajout de yi à la liste y2 y2.append(yi) # trace les points de la série en rouge plt.plot(x, y1, marker="o", color="r") # trace la courbe représentative de la fonction d'interpolation plt.plot(x, y2, color="b") # définit le titre du graphique : Interpolation trigonométrique plt.title("Interpolation trigonométrique") plt.show() # affiche la figure à l'écran |
Le code affiche :
I. Expression de la fonction d'interpolation passant par les différents points :
f(x) = 5.0 + 7.0.cos(2.0x) + 2.0.sin(2.0x) + 3.0.cos(4.0x) + 4.0.sin(4.0x) + 5.0.cos(6.0x) + 12.0.sin(6.0x) + 27.0.cos(8.0x) + 35.0.sin(8.0x)
Puis la courbe représentative de la fonction passant par les différents points :
IV. Conclusion
Après avoir montré l'analogie entre les séries de Fourier et les polynômes trigonométriques, nous avons pu obtenir les formules des coefficients du polynôme, puis celle de la fonction d'interpolation.
Enfin, nous avons su traduire ces formules en Python, et les utiliser pour déterminer à partir d'une série de points, la fonction d'interpolation.
Sources :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%...om%C3%A9trique
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier